De la triple unité des réels au carré

Pour le vingt-deuxième cycle du dixième mois de la décade
comprenant la nuit et le jour :

« L'axe des nombres [ réels ] donnait à penser que [ le dicta de ] la complétude avait été atteinte. Tous les nombres semblaient en place, prêts à répondre à toutes les questions mathématiques, et de toute façon, aucune place n'était prévue pour une nouvelle variété.

« Au XVIe siècle, toutefois des grondements d'orage retentirent. Le mathématicien italien Raffaele Bombelli étudiait les racines carrées de divers nombres quand il tomba sur une question insoluble. »

[ Rappelons que les fractions occupent sur cet axe « les espaces entre les nombres entiers » ; mais les nombres irrationnels ne sont pas « répartis entre les fractions » comme l'énonce Singh en introduisant sa figure :

« Fig. 9 : Tous les nombres peuvent être placés sur un axe qui s'étend dans les deux directions jusqu'à l'infini. »

D'abord parce que cette répartition n'a aucune réalité, ensuite parce que les chiffres géométriques n'ont pas encore été conçu en tant que tel parmi les nombres imaginaires. ]

« Le problème commençait par la question : quelle est la racine carrée de un ? La réponse évidente [ mais absurde ] est « 1 » parce que « 1 x 1 = 1 ». Une réponse moins évidente [ mais tout aussi absurde ] est « - 1 ».

« Un nombre négatif multiplié par un autre nombre négatif produit, en effet, un nombre positif. Cela signifie que « - 1 x - 1 = + 1 ».

« La racine carré de « + 1 » est à la fois « + 1 » et « - 1 » [ et ] cette redondance suscite la question suivante : quelle est la racine carré du un négatif ?

« Le problème semble intraitable. La solution, en effet, ne peut être ni « +1 » ni « - 1 » parce que le carré de ces deux nombres est « + 1 ».

« Toutefois, il n'existe pas d'autres candidats évidents à la réponse. Et pourtant [ le dicta de ] la complétude exige qu'on puisse répondre à la question. »

Cf. Simon Singh – Le dernier théorème de Fermat – Une disgrâce mathématique – Le cyclope mathématique (1997)

L'absurdité des réponses qui sont donné à la question tient au fait qu'il n'y a pas plus de racine carrée pour « 1 » que pour « 2 » puisqu'il ne peut y avoir de racine carrée en-deçà de « 4 » dont la racine est « 2 » – « 2² = 4 ».

Le problème est induit par la symétrie sur l'axe des réels « qui s'étend dans les deux directions jusqu'à l'infini » à partir d'un zéro. Ce qui introduit son « hiatus » entre les deux occurrences dans sa redondance – « + 1 » et « - 1 ».

Ce faisant, on altère la première propriété des décades ; à savoir l’irréversibilité de l'ordre dans laquelle les nombres apparaissent autour de leur quintessence (5) à partir du premier d'entre eux (1) qui n'apparaît comme totalité (10) qu'avec la Décade.

Par contre, dans la réversibilité d'un axe fondé sur le néant, la fin conçue comme origine et toujours relative à deux infinis se retrouve indifféremment des deux côtés d'un ordre dont on dénature les séquences en disloquant sa fréquence.

Ce qui introduit autour d'un zéro conçu comme une « quantité de rien » un principe d'incertitude entre deux unités qui en accompagnent une autre fondée sur une extension quelconque de cette quantité sans fondement.

Alors que dans l’irréversibilité des décades, cette unité quelconque flanquée de l'unicité du Principe et d'un Second qui en fait le Premier déploie d'emblée l'extension de cette unité dont la moyenne est « 5 » dans un carré en-deçà duquel il est sans racine.

« La solution [ qui n'en est pas une ] pour Bombelli consista à créer un nouveau nombre « i » dit « nombre imaginaire » qui était simplement défini comme [ une ] réponse [ absurde ] à la question : « quelle est la racine carrée de un négatif ? ».

[ Singh – lui-même – la qualifie d'esquive en la comparant à une invention des nombres négatifs qu'il attribue aux Indiens – son dernier recours. ]

« Le mathématicien allemand du XVIIe siècle Gottfried Leibniz décrivit avec élégance ce concept : « Le nombre imaginaire est une belle et admirable intervention de l'esprit divin, presque un amphibie entre l'Être et le Non-être. » [ Autrement dit : un djinn. ]

Cf. Simon Singh – Op. Cit. Ibidem (1997)

C'est toujours l'Unique (1) qui se manifeste comme totalité (10) dans la Décade et c'est encore Lui qui se manifeste sur l'unité quand la totalité devient la Première.

La Seconde comme la Décade prime toujours sur le Premier des nombres avant que le deuxième n’apparaisse avec un Tiers.