Les numérations

Pour le vingt-neuvième cycle du dixième mois de la décade
comprenant la nuit et le jour :

Le volume de la collection des « Génies mathématiques » consacré à Gauss – « Une révolution de la théorie des nombres » (2018) – présente deux encarts sur les systèmes de numération.

Pour le système de numération sumérien :

« Les Sumériens étaient un peuple établi au IVe millénaire avant [ l'ère chrétienne ] en Mésopotamie.

« Ils parlaient le sumérien, la plus ancienne langue écrite connue, et leur savoir en mathématiques est attesté par des tablettes d'argile datant pour la plupart d'entre 1800 et 1600 avant [ l'ère chrétienne ].

« On peut y déchiffrer des fractions, des problèmes d'algèbre, des équations quadratiques et cubiques, ainsi que des notions du futur théorème de Pythagore. »

Système décimal de numération sumérien
Arabe	Romain	Cunéiforme
1	I	▼
2	II	▼▼
3	III	▼▼▼
4	IV	▼▼▼ ▼
5	V	▼▼▼ ▼▼
6	VI	▼▼▼ ▼▼▼
7	VII	▼▼▼ ▼▼▼ ▼
8	VIII	▼▼▼ ▼▼▼ ▼▼
9	IX	▼▼▼ ▼▼▼ ▼▼▼
10	X	►

La transcription montre que le cône latéral qui tient lieu de signe diacritique à la décade ne peut en aucun cas être interprété comme un zéro originel qui servirait de limite relative aux deux premiers nombres entiers.

Système sexagésimal de numération sumérien
10	20	30	40	50	60
X	XX	XXX	XL	L	LX
►	►►	►►►	►►►   ►	►►►   ►►	►►►   ►►►

La suite de la transcription montre que la décade s'inscrit dans un système sexagésimal.

Pour le système de numération égyptien :

« Pour représenter les fractions, les Égyptiens inventèrent un système fondé sur les puissances de « 1/2 ».

« Les signes transcrivant les différentes puissances furent empruntés aux éléments qui composaient le hiéroglyphe de l’œil d'Horus.

« Chaque fraction était ainsi représentée par une graphie inspirée d'une partie de ce hiéroglyphe. »

Système sexagésimal de fractionnement égyptien
« 1 / 2 »	« 1 / 4 »	« 1 / 8 »	« 1 / 16 »	« 1 / 32 »	« 1 / 64 »

La transcription montre que ces puissances s'inscrivent dans le même système sexagésimal.

Pour le système de numération manuel :

« La notion de douzaine s'est avérée fort utile dans les échanges commerciaux. [ ... ] le chiffre « 12 » divisible par « 2 », « 3 », « 4 » et « 6 » permettait de fixer facilement le prix d'une demi-douzaine ou deux unités d'un produit. »

[ Ce type de fractionnement s'inscrirait dès lors dans le même système sexagésimal. ]

« Le système duodécimal fut particulièrement utilisé à travers le monde, peut-être en raison des douze apparitions de la Lune au cours de l'année dans le calendrier lunaire ...

[ Dans ce cas, il ne pouvait s'agir que de lunaisons synodiques plutôt incongrues dans ce type de calendrier qui correspondrait alors aux treize lunaisons sidérales avant l'hégire. ]

« ... ou bien a cause d'un détail de l'anatomie de l'homme : le pouce permet d'indiquer les trois phalanges des quatre autres doigts de la main, soit douze positions. [ ... ]

[ Dans ce cas, on ignore les deux ou trois phalanges du pouce – la troisième étant sous-cutané. En réalité, « 14 » reste le nombre de référence dans la tradition pythagorique et à Rome jusqu'au VIe siècle de l'ère chrétienne :

« La division de Rome en sept régions ecclésiastiques avait sans doute été instituée dès le IIIe siècle, par le pape Fabien (236-250), dans un but essentiellement caritatif ; [ ... ]

« [ ... ] mais ce n'est qu'au milieu du VIe siècle, à la suite de la guerre entre les Grecs et les Goths, qu'elles semblent avoir remplacé les quatorze régions organisées par Auguste. »

Cf. Sofia Boecsh Gajano – Grégoire le Grand – Gouverner l’Église de Rome : instruments et ressources (2007) ]

Système duodécimal de numération manuel
3	6	9	12
III	VI	IX	XII

« De plus, les douze phalanges de la main droite peuvent se combiner aux cinq doigts de la main gauche. On obtient ainsi un total de « 12 x 5 = 60 » positions. »

Système sexagésimal de numération manuel
12	24	36	48	60
XII	XXIV	XXXVI	XLVIII	LX

On retrouve toujours la même base sexagésimale que l'encart signale pour la mesure des angles en degrés, de l'heure en minute et de la minute en secondes ; tandis qu'il relève pour la base duodécimale les douze mois de l'année et les vingt-quatre heures du jour.

La référence au nombre « 14 » qu'on retrouve encore dans le « tasawwuf » akbarien comme nombre « parfait » semblable à la déférence des pythagoriciens pour les nombres « 6 » et « 28 » est à mettre en relation avec les éléments de la décade : « Σ 4 = 10 ».

Le système que nous qualifions ici de numération manuelle reprend les douze branches terrestres – « dizhi » – du calendrier sexagésimal que les chinois relient aux dix troncs célestes – « tiangan » – de la forêt des saules en les organisant par binômes.

On peut regrouper les dix troncs célestes comme les cinq paires de la décade dans la Triple enceinte où ils apparaissent comme les cinq éléments du Tao, les cinq trilithes de sarsen à Stonehenge ou les cinq doigts de la main pour les douze phalanges.

Ces phalanges ne sont pas seulement les douze mois synodiques de l'année solaire mais aussi les constellations astrales du zodiaque après avoir chassé du plérôme celle du Serpent qui est la treizième dans le cycle des lunaisons sidérales.