La fraction du nombre

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Retour vers la demeure des haltes

Pour la demeure du vingt-neuvième jour qui succède à la nuit
au dixième mois de la décade :

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Le volume de la collection des « Génies mathématiques » consacré à Gauss – « Une révolution de la théorie des nombres » (2018) – présente deux encarts sur les systèmes de numération.

Pour le système de numération sumérien :

« Les Sumériens étaient un peuple établi au IVe millénaire avant [ l'ère chrétienne ] en Mésopotamie.

« Ils parlaient le sumérien, la plus ancienne langue écrite connue, et leur savoir en mathématiques est attesté par des tablettes d'argile datant pour la plupart d'entre 1800 et 1600 avant [ l'ère chrétienne ].

« On peut y déchiffrer des fractions, des problèmes d'algèbre, des équations quadratiques et cubiques, ainsi que des notions du futur théorème de Pythagore. »
   

Système décimal de numération sumérien
Arabe	Romain	Cunéiforme
1	I	▼
2	I I	▼▼
3	I I I	▼▼▼
4	IV	▼▼▼ ▼
5	V	▼▼▼ ▼▼
6	VI	▼▼▼ ▼▼▼
7	VII	▼▼▼ ▼▼▼ ▼
8	VIII	▼▼▼ ▼▼▼ ▼▼
9	IX	▼▼▼ ▼▼▼ ▼▼▼
0	X	►

   
La transcription montre que le cône latéral qui tient lieu de signe diacritique à la décade ne peut en aucun cas être interprété comme un zéro originel qui servirait de limite relative aux deux premiers nombres entiers.
   

Système sexagésimal de numération sumérien
10	20	30	40	50	60
X	XX	XXX	XL	L	LX
►	►►	►►►	►►► ►	►►► ►►	►►► ►►►

   
La suite de la transcription montre que la décade s'inscrit dans un système sexagésimal.

Pour le système de numération égyptien :

« Pour représenter les fractions, les Égyptiens inventèrent un système fondé sur les puissances de « 1/2 ».

« Les signes transcrivant les différentes puissances furent empruntés aux éléments qui composaient l'hiéroglyphe de l’œil d'Horus.

« Chaque fraction était ainsi représentée par une graphie inspirée d'une partie de cet hiéroglyphe. »
   

Sénaire du fractionnement égyptien
« 1 / 2 »	« 1 / 4 »	« 1 / 8 »	« 1 / 16 »	« 1 / 32 »	« 1 / 64 »

   
La transcription montre que ces puissances s'inscrivent comme les soixante-quatre hexagrammes du « Yi » (2) chinois dans le même sénaire.

Pour le système de numération manuel :

« La notion de douzaine s'est avérée fort utile dans les échanges commerciaux. [ ... ] le chiffre « 12 » divisible par « 2 », « 3 », « 4 » et « 6 » permettait de fixer facilement le prix d'une demi-douzaine ou deux unités d'un produit. »

[ Ce fractionnement s'inscrit dès lors dans le même sénaire. ]

« Le système duodécimal fut particulièrement utilisé à travers le monde, peut-être en raison des douze apparitions de la Lune au cours de l'année dans le calendrier lunaire ...

[ Dans ce cas, il ne pouvait s'agir que de lunaisons synodiques plutôt incongrues dans ce type de calendrier qui correspondait encore aux treize lunaisons sidérales avant l'hégire. ]

« ... ou bien a cause d'un détail de l'anatomie de l'homme : le pouce permet d'indiquer les trois phalanges des quatre autres doigts de la main, soit douze positions. [ ... ]

[ Dans ce cas, on ignore les phalanges du pouce. ]
   

Système duodécimal de numération manuel
3	6	9	12
III	VI	IX	XII

   
« De plus, les douze phalanges de la main droite peuvent se combiner aux cinq doigts de la main gauche. On obtient ainsi un total de « 12 x 5 = 60 » positions. »
   

Système sexagésimal de numération manuel
12	24	36	48	60
XII	XXIV	XXXVI	XLVIII	LX

   
On retrouve la même base sexagésimale que l'encart signale pour la mesure des angles en degrés, de l'heure en minute et de la minute en secondes ; tandis qu'il relève pour la base duodécimale, les douze mois de l'année solaire et les vingt-quatre heures du jour.

Le système de numération manuelle reprend les douze branches terrestres – « dizhi » – du calendrier sexagésimal que les chinois relient aux dix troncs célestes – « tiangan » – de la forêt des saules en les organisant par binômes : « (12 x 10) / 2 = 60 ».

Les cinq paires du triangle de la décade apparaissent dans le labyrinthe de la Triple enceinte comme les cinq éléments du Tao, les cinq trilithes de sarsen à Stonehenge ou les cinq doigts de la main pour les douze phalanges :

► « 1 + 9 » \ « 2 + 8 » \ « 3 + 7 » \ « 4 + 6 » \ « 5 + 5 » pour « Σ 10 = 55 »

Ces phalanges ne sont pas seulement les douze mois synodiques de l'année solaire mais aussi les douze maisons zodiacales avec la constellation du Serpent qui achève leur plérôme céleste pour le cycle des lunaisons sidérales.

Les nombres de la Triple enceinte sont « 4 » pour le carré du parvis, « 8 » pour l'octogone du labyrinthe, « 0 » pour le cercle du milieu et « 5 » pour les paires de la quintessence – « 0 » notant ici la décade et « 8 » l'intervalle entre « I » et « II ».

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Quatorze reste un nombre de référence à Rome jusqu'au VIe siècle de l'ère chrétienne :

« La division de Rome en sept régions ecclésiastiques avait sans doute été instituée dès le IIIe siècle par le pape Fabien (236-250) dans un but essentiellement caritatif ; ...

« ... mais ce n'est qu'au milieu du VIe siècle à la suite de la guerre entre les Grecs et les Goths qu'elles semblent avoir remplacé les quatorze régions organisées par Auguste. »

Cf. Sofia Boecsh Gajano – Grégoire le Grand – Gouverner l’Église de Rome : instruments et ressources (2007) ]

Le Sheykh al-Akbar qualifiera ce nombre de « parfait » dans le quatorzième poème du « Tarjumân al-Ashwâq » en inscrivant sa décade dans le développement de sa quadrature pour le triangle du quaternaire « Σ 4 = 10 ».

Cette perfection est celle des nombres « 6 » et « 28 » pour les pythagoriciens qui mettent le triangle des nombres « 3 » et « 7 » en relation avec la Somme de leurs fractionnements : « 1 + 2 + 3 » et « 1 + 2 + 4 + 7 + 14 » pour « Σ 3 = 6 » et « Σ 7 = 28 ».

Le maître d'Alep s'inscrit ici encore dans un nombre de lettres arabes (28) qui est aussi un nombre de mansions sidérales (28) pour leur lunaison et pour leurs semaines (4 x 7).

Nous utilisons le Sigma « Σ » pour indiquer la Somme des triangulations qui pourraient être représenter par un Delta « Δ » puisque sa valeur (4) est bien celle de ces semaines de sept jours plutôt qu'un nombre d'angles – « Σ 2 = 3 ».